10228. В четырёхугольнике ABCD
диагональ BD
является биссектрисой угла ABC
, E
— точка пересечения диагоналей, AD=DC
, \angle ADC=140^{\circ}
, \angle BEC=110^{\circ}
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 50^{\circ}
.
Решение. Первый способ. В треугольниках BAD
и BCD
сторона BD
— общая, AD=CD
и \angle ABD=\angle CBD
(рис. 1). Возможны два случая:
1) \angle BAD=\angle BCD
, и тогда эти треугольники равны;
2) \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}
(см. задачу 1254), и тогда эти треугольники различны.
Первый случай невозможен, так как тогда прямые AC
и BD
перпендикулярны, что противоречит условию \angle BEC=110^{\circ}
.
Во втором случае четырёхугольник ABCD
вписанный. Тогда
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ},
значит,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle BEC-\angle CBE=180^{\circ}-110^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}.
Второй способ. Отрезок BE
— биссектриса треугольника ABC
, поэтому \frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}
(см. задачу 1509). Рассмотрим окружность, описанную около равнобедренного треугольника ADC
. Предположим, что эта окружность пересекает прямую BD
в точке F
, отличной от B
(рис. 2). Тогда FE
— биссектриса треугольника AFC
, значит, \frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EC}
. Таким образом, точки B
и F
принадлежат ГМТ, отношение расстояний которых от точек A
и C
равно k=\frac{AE}{EC}
. Это ГМТ — либо прямая (если k=1
), либо окружность (см. задачу 2444), называемая окружностью Аполлония (если k\ne1
).
Первый случай невозможен, так как если AE=EC
, то угол BEC
прямой. Второй случай невозможен, так как прямая BD
не может иметь с окружностью Аполлония три общие точки: E
, B
и F
. Следовательно, рассмотренная изначально окружность проходит через точку B
. Вычисление искомого угла приведено выше.
Источник: Московская математическая регата. — 2009-2010, 11 класс