10273. В треугольнике ABC
проведены высота BH
, медиана BB_{1}
и средняя линия A_{1}C_{1}
(A_{1}
лежит на стороне BC
, C_{1}
— на стороне AB
). Прямые A_{1}C_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке M
, а прямые C_{1}B_{1}
и A_{1}H
— в точке N
. Докажите, что прямые MN
и BH
параллельны.
Решение. Точка M
— середина отрезка A_{1}C_{1}
, так как A_{1}C_{1}\parallel AC
(см. задачу 2607). Кроме того,
C_{1}B_{1}=\frac{1}{2}BC=A_{1}C=A_{1}H,
поскольку HA_{1}
— медиана прямоугольного треугольника BHC
(см. задачу 1109). Таким образом, C_{1}B_{1}HA_{1}
— равнобокая трапеция, откуда следует, что треугольник A_{1}NC_{1}
равнобедренный. Тогда его медиана NM
является и высотой. Значит, MN\perp AC
, т. е. MN\parallel BH
.
Примечание. Доказать, что трапеция C_{1}B_{1}HA_{1}
равнобокая, можно и по-другому. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и H
лежат на одной окружности — окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), а любая вписанная трапеция — равнобокая.