10307. В прямоугольном треугольнике ABC
точка C_{0}
— середина гипотенузы AB
; AA_{1}
, BB_{1}
— биссектрисы; I
— центр вписанной окружности. Докажите, что прямые C_{0}I
и A_{1}B_{1}
пересекаются на высоте, проведённой из вершины C
.
Решение. Воспользуемся следующим фактом (верным для любого треугольника). Прямая C_{0}I
пересекает высоту CH
в точке, лежащей на расстоянии r
от вершины C
, где r
— радиус вписанной окружности треугольника (см. задачу 802).
Пусть H'
— точка пересечения прямых C_{0}I
и CH
. Поскольку CH'=r
, расстояния от H'
до прямых CA
, BC
и AB
равны соответственно
d_{b}=r\cos\angle HCB=r\cos\angle BAC=r\cdot\frac{CA}{AB},~d_{a}=r\cdot\frac{BC}{AB},~d_{c}=CH-r,
откуда
BC=\frac{d_{a}\cdot AB}{r},~CA=\frac{d_{b}\cdot AB}{r},~CH=d_{c}+r.
Поскольку удвоенная площадь треугольника равна (AB+BC+CA)r=AB\cdot CH
(см. задачу 452),
\left(AB+\frac{d_{a}\cdot AB}{r}+\frac{d_{b}\cdot AB}{r}\right)r=AB(d_{c}+r),
откуда d_{c}=d_{a}+d_{b}
.
Из задачи 1630 следует, что все точки, обладающие этим свойством, лежат на отрезке A_{1}B_{1}
. Таким образом, точки A_{1}
, B_{1}
и H'
лежат на одной прямой, т. е. прямые A_{1}B_{1}
и C_{0}I
пересекаются на высоте CH
.