10311. Четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC
и AD=CD
, вписан в окружность. Точка M
лежит на меньшей дуге CD
этой окружности. Прямые BM
и CD
пересекаются в точке P
, а прямые AM
и BD
— в точке Q
. Докажите, что PQ\parallel AC
.
Решение. Точки B
и D
равноудалены от концов хорды AC
, значит, прямая BD
— серединный перпендикуляр к этой хорде (см. задачу 1676). Следовательно, BD
— диаметр окружности.
Дуги AB
и BC
, не содержащие точки D
стягиваются равными хордами, поэтому они равны. Значит, \angle MPD=\angle MQD
, так как первый опирается на дуги MD
и BC
, а второй — на дуги MD
и AB
(см. задачу 26). Следовательно, четырёхугольник MPQD
вписанный (см. задачу 12), а поскольку \angle DQP=\angle DMP=\angle DMB=90^{\circ}
(см. задачу 1689), то PQ\perp BD
и, значит, PQ\parallel AC
.