10353. Точки E
и F
— середины сторон BC
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Докажите, что отрезок EF
делит диагонали AC
и BD
в одном и том же отношении.
Решение. Первый способ. Пусть отрезок EF
пересекает диагональ AC
в точке X
, а диагональ BD
— в точке Y
. Проведём через вершины A
и D
прямые, параллельные EF
и пересекающие прямую BC
в точках K
и M
соответственно (рис. 1). По теореме Фалеса EK=EM
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{CX}{XA}=\frac{CE}{EK}=\frac{BE}{EM}=\frac{BY}{YD}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Проведём отрезки AY
, CY
, BX
и DX
(рис. 2). Так как XF
— медиана треугольника AXD
, то S_{\triangle BXY}=S_{\triangle CXY}
(см. задачу 3001). Аналогично, S_{\triangle AXY}=S_{\triangle DXY}
. Значит (см. задачу 3000),
\frac{CX}{XA}=\frac{S_{\triangle CXY}}{S_{\triangle AXY}}=\frac{S_{\triangle BXY}}{S_{\triangle DXY}}=\frac{BY}{YD}.
Что и требовалось доказать.
Третий способ. Если стороны BC
и AD
параллельны, то ABCD
— трапеция, отрезок EF
проходит через точку пересечения её диагоналей и утверждение очевидно.
Пусть прямые BC
и AD
пересекаются в точке L
, прямые AC
и EF
— в точке X
, прямые BD
и EF
— в точке Y
(рис. 3). По теореме Менелая для треугольника KAC
и прямой EF
(см. задачу 1622) получаем, что
\frac{LE}{EC}\cdot\frac{CX}{XA}\cdot\frac{AF}{FL}=1.
Аналогично, для треугольника LBD
и прямой EF
получаем, что
\frac{LE}{EB}\cdot\frac{BY}{YD}\cdot\frac{DF}{FL}=1,
Следовательно,
\frac{LE}{EC}\cdot\frac{CX}{XA}\cdot\frac{AF}{FL}=\frac{LE}{EB}\cdot\frac{BY}{YD}\cdot\frac{DF}{FL},
а так как EC=ED
и AF=DF
, то \frac{CX}{XA}=\frac{BY}{YD}
.
Четвёртый способ. Назовём прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырёхугольника, его средней линией. Рассмотрим геометрическое место таких точек D'
, что прямая EF
содержит среднюю линию четырёхугольника ABCD'
. Этим ГМТ является прямая l
— образ прямой EF
при гомотетии с центром в точке A
и коэффициентом 2 (рис. 4). Поскольку l\parallel EF
, для любой точки D'
, принадлежащей прямой l
, отрезки BD
и BD'
делятся прямой EF
в одном и том же отношении. Так как у четырёхугольников ABCD
и ABCD'
диагональ AC
и прямая, содержащая среднюю линию, — общие, а диагонали BD
и BD'
делятся прямой EF
в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырёхугольников ABCD'
. Но это утверждение очевидно для случая, когда AD'\parallel BC
, т. е. когда ABCD'
— трапеция.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2004, № 7, 9-10 классы