10441. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
, касается гипотенузы AB
в точке Y
. Точка X
— середина гипотенузы. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекается с прямой CY
в точке Z
. Докажите, что XZ=p
, где p
— полупериметр треугольника ABC
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
. Тогда a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Без ограничения общности считаем, что a\gt b
.
Пусть CF
— высота треугольника ABC
. Тогда AF=\frac{b^{2}}{c}
(см. задачу 2728), а так как AY=p-a
(см. задачу 219) и CF=\frac{ab}{c}
(см. задачу 1967), то
YX=AX-AY=\frac{c}{2}-\frac{b+c-a}{2}=\frac{a-b}{2},
FY=AY-AF=p-a-\frac{b^{2}}{c}=\frac{b+c-a}{2}-\frac{b^{2}}{c}=
=\frac{bc+c^{2}-ac-2b^{2}}{2c}=\frac{(c^{2}-2b^{2})-(ac-bc)}{2c}=
=\frac{(a^{2}+b^{2}-2b^{2})-c(a-b)}{2c}=\frac{(a^{2}-b^{2})-c(a-b)}{2c}=
=\frac{(a-b)(a+b)-c(a-b)}{2c}=\frac{(a-b)(a+b-c)}{2c}.
Следовательно, из подобия прямоугольных треугольников CFY
и ZXY
получаем
XZ=CF\cdot\frac{YX}{FY}=\frac{ab}{c}\cdot\frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{(a-b)(a+b-c)}{2c}}=\frac{ab}{a+b-c}=
=\frac{ab(a+b+c)}{(a+b)^{2}-c^{2}}=\frac{ab(a+b+c)}{a^{2}+b^{2}+2ab-c^{2}}=\frac{ab(a+b+c)}{c^{2}+2ab-c^{2}}=\frac{ab\cdot2p}{2ab}=p.
Что и требовалось доказать.