10447. O
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
. Прямая, проходящая через точку C
и точку, симметричную B
относительно O
, пересекает основание AD
в точке K
. Докажите, что S_{\triangle AOK}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle DOK}
.
Решение. Известно, что S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}
(см. задачу 3017), поэтому достаточно доказать, что S_{\triangle AOK}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}
.
Пусть P
и Q
— середины оснований BC
и AD
трапеции ABCD
, B_{1}
— точка, симметричная точке B
относительно O
. Известно, что прямая PQ
проходит через точку O
(см. задачу 1513). Кроме того, PO
— средняя линия треугольника BCB_{1}
, поэтому CB_{1}\parallel PO
, т. е. CK\parallel PQ
.
Далее можно рассуждать различными способами.
Первый способ. Обозначим AD=a
, BC=b
. Поскольку QPCK
параллелограмм, то QK=PC
, значит,
\frac{AK}{AD}=\frac{AQ+QK}{AD}=\frac{AQ+PC}{AD}=\frac{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}}{a}=\frac{a+b}{2a}.
С другой стороны, \frac{AO}{AC}=\frac{a}{a+b}
, значит (см. задачу 3007),
\frac{S_{\triangle AOK}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AK}{AD}\cdot\frac{AO}{AC}=\frac{a+b}{2a}\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{1}{2}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Отрезок CQ
— медиана треугольника ACD
, поэтому
\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}=S_{\triangle CQD}=S_{\triangle CQK}+S_{\triangle CKD}.
Поскольку CK\parallel OQ
, то S_{\triangle CQK}=S_{\triangle COK}
. Значит,
S_{\triangle CQK}+S_{\triangle CKD}=S_{\triangle COK}+S_{\triangle CKD}=S_{OCDK}.
Следовательно, S_{\triangle AOK}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Также возможно решение с помощью аффинного преобразования, переводящего данную трапецию в равнобокую. Отношение площадей при этом сохраняется. Подробнее про аффинные преобразования см., например, Я.П. Понарин, «Элементарная геометрия», т. 1, глава 2, с. 23.
Автор: Панов М. Ю.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2015, № 9, 10-11 классы