10466. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Пусть \omega
— его описанная окружность, точка M
— середина стороны BC
, P
— вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
и \omega
, T
— точка пересечения касательных к \omega
, проведённых в точках B
и C
, S
— точка пересечения AT
и \omega
. Докажите, что точки P
, A_{1}
, S
и середина отрезка MT
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, H'
— точка, симметричная H
относительно BC
, X
— точка, симметричная H
относительно M
, A'
— середина дуги BC
, не содержащей точку A
, K
— точка пересечения AM
и \omega
.
Известно, что прямая, проходящая через вершину треугольника и точку пересечения касательных к описанной около него окружности, проведённых из двух других вершин, содержит симедиану треугольника (см. задачу 10449). Значит, AS
— симедиана. Также будем использовать четыре следующих утверждения.
Утверждение 1. Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника (см. задачу 4785).
Утверждение 2. Точка, симметричная ортоцентру треугольника ABC
относительно середины стороны BC
, лежит на описанной окружности этого треугольника и диаметрально противоположна точке A
(см. задачу 6300).
Утверждение 3. Точки, симметричные ортоцентру относительно стороны BC
и середины стороны BC
, симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC
.
Утверждение 4. Пусть K
и S
— точки пересечения медианы и симедианы, проведённых из вершины A
, с описанной окружностью треугольника. Тогда точки S
и K
, а, следовательно, прямые SM
и KM
симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC
.
Итак, точки S
и K
, а также точки H'
и X
симметричны относительно прямой MT
(см. утверждения 3 и 4). Также нам потребуются две леммы.
Лемма 1. Точки P
, H
, M
и X
лежат на одной прямой.
Доказательство. Заметим, что точки A
, B_{1}
, H
и C_{1}
лежат на одной окружности, причём AH
— диаметр этой окружности, значит, \angle APH=90^{\circ}
. Точка X
— диаметрально противоположна точке A
(см. утверждение 2), значит, \angle APX=90^{\circ}
, откуда и следует утверждение леммы.
Лемма 2. Точки P
, H'
и T
лежат на одной прямой.
Доказательство. Поскольку PT
— симедиана треугольника BPC
(см. задачу 10449), а PM
— его медиана, достаточно доказать, что PH'
и PM
симметричны относительно биссектрисы угла BPC
.
Пусть Q
— середина дуги BC
, не содержащей точки A
. Тогда PQ
— биссектриса угла BPC
, а прямая MQ
— серединный перпендикуляр к стороне BC
. Точки X
и H'
симметричны относительно прямой MQ
(см. утверждение 3), значит, PQ
— также биссектриса угла XPA'
. Следовательно, PH'
— симедиана треугольника APC
, т. е. прямые PH'
и PT
совпадают. Лемма 2 доказана.
Далее решение задачи состоит из двух частей.
1) Докажем, что PA_{1}
проходит через середину отрезка MT
. В треугольнике PMT
точки H
и H'
расположены на сторонах PM
и PT
(по леммам 1 и 2). Поскольку A_{1}
— середина HH'
, а HH'\parallel TM
, то прямая PA_{1}
делит отрезок TM
пополам (см. задачу 2607).
2) Докажем, что точки P
, A_{1}
и S
лежат на одной прямой. Для этого достаточно доказать, что \angle H'A_{1}S=\angle PA_{1}A
.
Заметим, что четырёхугольник APA_{1}M
вписанный (\angle AA_{1}M=90^{\circ}
и \angle APM=\angle APH=90^{\circ}
). Кроме того, точки S
и K
, а также точки H'
и X
симметричны относительно прямой MT
, значит,
\angle H'MS=\angle XMK=\angle PMA=\angle PA_{1}A,
а так как AX
— диаметр окружности \omega
, то
\angle H'SM=\angle MKX=90^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник A_{1}H'SM
вписанный. Следовательно, \angle H'MS=\angle H'A_{1}S
. Что и требовалось доказать.
Таким образом, точки P
, A_{1}
, S
и середина отрезка MT
лежат на одной прямой.
Примечание. 1. Другие свойства точки P
и более общей конструкции можно найти в статье Ю.Блинкова «Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и ещё одна точка!», Квант, 2014, N1.
2. Подробнее о свойствах симедианы см., например, В.В.Прасолов «Задачи по планиметрии», глава 5, §13.
3. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.