10487. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и CC_{1}
. Окружность, описанная вокруг треугольника A_{1}BC_{1}
, проходит через точку M
пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла B
.
Ответ. (\arctg\sqrt{2};60^{\circ}]
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, K
— середина стороны AC
, AC=b
и BK=m
(рис. 1). Поскольку
\angle BC_{1}H=\angle BA_{1}H=90^{\circ},
точка H
лежит на описанной окружности треугольника A_{1}BC_{1}
. Прямые KC_{1}
и KA_{1}
касаются окружности, описанной вокруг треугольника A_{1}BC_{1}
, так как
\angle KC_{1}H=\angle KCC_{1}=\angle ABH=\angle C_{1}BH
(см. задачи 1109 и 144). Аналогично для KA_{1}
.
По условию точка M
лежит на окружности, описанной около треугольника A_{1}BC_{1}
, поэтому (см. задачу 93)
\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=KC_{1}^{2}=KM\cdot KB=\frac{m^{2}}{3},
так как точка M
делит медиану BK
в отношении 2:1
. Отсюда m=\frac{\sqrt{3}b}{2}
, и при фиксированном b
точка B
лежит на окружности с центром K
и радиусом \frac{\sqrt{3}b}{2}
.
В одном из положений получается точка B'
—вершина правильного треугольника AB'C
. Получаем картинку, изображённую на рис. 2. Точка B
лежит на дуге B_{1}B_{2}
большей окружности, так как треугольник ABC
остроугольный. При этом угол B
меняется в достаточно малом диапазоне: от \arctg\sqrt{2}
, не включая (это наименьшее значение соответствует точкам B_{1}
и B_{2}
и прямоугольным треугольникам AB_{2}C
и AB_{1}C
с катетами b
и \frac{b}{\sqrt{2}}
), до 60^{\circ}
(это наибольшее значение угла B
, поскольку две окружности на рис. 2 касаются внутренним образом, и поэтому \angle ABC\lt\angle AB'C
при B\ne B'
.
В силу непрерывности угла ABC
при движении точки B
по дуге B'B_{2}
любое промежуточное значение из интервала (\arctg\sqrt{2};60^{\circ})
соответствует некоторому положению B''
точки B
. Для построенного треугольника AB''C
точка M
будет лежать на окружности, описанной около треугольника A_{1}BC_{1}
, так как будет выполнено соотношение KC_{1}^{2}=KM\cdot KB
(см. задачу 114).
Примечание. Соотношение \left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\frac{m^{2}}{3}
можно получить и другим способом. Если D
— точка, симметричная B
относительно точки K
, то ABCD
— параллелограмм, поэтому
\angle DAH=\angle DCH=90^{\circ},
и, кроме того,
\angle DMH=180^{\circ}-\angle BMH=90^{\circ}.
Поэтому точки A
, C
и M
лежат на окружности, построенной на DH
как на диаметре. Следовательно, AK\cdot KC=MK\cdot KD
, откуда и следует требуемое соотношение.