10609. Окружность касается некоторой прямой в точке A
и пересекает прямую, параллельную первой, в точках B
и C
. На окружности взята точка D
, отличная от A
, B
, C
. Докажите, что точка A
равноудалена от прямых BD
и CD
.
Решение. Пусть точки A
и D
лежат по разные стороны от прямой BC
(рис. 1). Достаточно доказать, что DA
биссектриса угла BDC
(см. задачу 1138). Это так, поскольку A
— середина дуги BAC
(см. задачу 430).
Пусть точки A
и D
лежат по одну сторону от прямой BC
и при этом точки D
и B
— по разные стороны от AC
, а K
— точка пересечения прямой CD
с касательной к окружности, проведённой в точке A
(рис. 2). Тогда
\angle ADK=180^{\circ}-\angle ADC=\angle ABC=\angle ACB=\angle ADB
(см. задачи 6 и 734), т. е. DA
— биссектриса угла BDK
. Следовательно, точка A
равноудалена от прямых BD
и CD
.
Аналогично для случая, когда точки A
и D
лежат по одну сторону от прямой BC
и при этом точки D
и B
— по одну сторону от прямой AC
(рис. 3).