10667. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, O
— центр описанной окружности треугольника, H
— ортоцентр. Докажите, что AH=AO
.
Решение. Первый способ. Известно, что \angle OAB=\angle HAC
(см. задачу 20). Обозначим \angle OAB=\angle HAC=\alpha
.
Пусть N
— середина стороны AB
, BB_{1}
— высота треугольника ABC
. Треугольник AOB
равнобедренный, поэтому его медиана ON
является высотой. Из прямоугольных треугольников AB_{1}B
и ANO
получаем, что
AH=\frac{AB_{1}}{\cos\alpha}=\frac{AB\cos60^{\circ}}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}AB}{\cos\alpha}=\frac{AN}{\cos\alpha}=AO.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть OM
— перпендикуляр к стороне BC
. Тогда M
— середина BC
, а
\angle MOB=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BAC=60^{\circ}.
Следовательно (см. задачу 1257),
AH=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}OB\cos\angle MOB=\frac{1}{2}OB\cos60^{\circ}=OB=AO.
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Следствие. Если угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, то биссектриса этого угла перпендикулярна отрезку OH
.
Верно и обратное, если если биссектриса угла A
треугольника ABC
перпендикулярна отрезку OH
, то этот угол равен 60^{\circ}
(см. задачу 6105).
2. Если AH=AO
, то \angle BAC=60^{\circ}
или \angle BAC=120^{\circ}
(см. задачу 16322).