10683. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, BC=CD
, AC=c
, \angle BAD=2\alpha
. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Ответ. c^{2}\sin\alpha\cos\alpha
.
Решение. Хорды BC
и CD
равны, поэтому равны дуги BC
и CD
, не содержащие точку A
. Следовательно, \angle BAC=\angle DAC=\alpha
.
Первый способ. Пусть \angle ABC=\beta
, \angle ADC=\gamma
. От луча DC
в полуплоскости, не содержащей точку A
, отложим луч под углом \beta
. На этом луче отложим отрезок DE=AB
. Тогда треугольник CDE
равен треугольнику CBA
по двум сторонам и углу между ними (рис. 1). Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому \beta+\gamma=180^{\circ}
, значит, точки A
, D
и E
лежат на одной прямой. Тогда площадь четырёхугольника ABCD
равна площади треугольника ACE
.
В треугольнике ACE
известно, что AC=CE
и \angle A=\angle E=\alpha
. Тогда \angle ACE=180^{\circ}-2\alpha
. Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AC^{2}\sin(180^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{2}c^{2}\sin2\alpha=c^{2}\sin\alpha\cos\alpha.
Второй способ. Из треугольников ABC
и ADC
по теореме косинусов получаем, что
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha,~CD^{2}=AD^{2}+AC^{2}-2AD\cdot AC\cos\alpha.
а так как BC=CD
, то
AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha=AD^{2}+AC^{2}-2AD\cdot AC\cos\alpha~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~AB^{2}-AD^{2}=2AC(AB-AD)\cos\alpha.
Если AB\ne AD
, то из полученного равенства следует, что AB+AD=2AC\cos\alpha
. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha+\frac{1}{2}AD\cdot AC\sin\alpha=
=\frac{1}{2}AC(AB+AD)\sin\alpha=c^{2}\sin\alpha\cos\alpha.
Если же AB=AD
, то треугольники ABC
и ADC
равны. Сумма углов ABC
и ADC
равна 180^{\circ}
, значит, каждый из этих углов прямой (AC
— диаметр окружности). Тогда AB=AD=c\cos\alpha
, т. е.
S_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}c\cos\alpha\cdot c\sin\alpha=c^{2}\sin\alpha\cos\alpha.
Равенство AB+AD=2AC\cos\alpha
можно получить иначе, если воспользоваться формулой Архимеда (см. задачу 176). Пусть биссектриса вписанного угла BAD
пересекает окружность в точке C
, K
— проекция точки C
на прямую AB
. Тогда AK=\frac{1}{2}(AD+AB)
(рис. 2). Теперь из прямоугольного треугольника AKC
получим, что AK=AC\cos\alpha
.
Третий способ. Пусть точка E
лежит на окружности и DE\parallel AC
(рис. 3). Тогда ACDE
— вписанная равнобедренная трапеция. Заметим, что S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ACE}
(у этих треугольников равны основания и высоты). Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CDA}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle AEC}=S_{ABCE}.
Четырёхугольник AECB
— вписанная равнобедренная трапеция, так как AE=CD=BC
. Тогда BE=AC
, а угол BFC
между ними равен полусумме меньших дуг BC
и AE
(см. задачу 26), т. е. равен 2\alpha
. Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=S_{ABCE}=\frac{1}{2}AC^{2}\sin2\alpha=c^{2}\sin\alpha\cos\alpha.