10697. Фиксированы окружность, точка A
на ней и точка K
вне окружности. Секущая, проходящая через точку K
, пересекает окружность в точках P
и Q
. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ
лежат на фиксированной окружности.
Решение. Пусть M
— середина отрезка PQ
, H
— ортоцентр треугольника, O
— центр описанной окружности. Тогда \angle OMK=90^{\circ}
, т. е. точка M
лежит на окружности с диаметром OK
.
Далее используем следующий факт (см. задачу 6300). Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на описанной окружности треугольника и диаметрально противоположны противолежащим вершинам.
В нашем случае: точка H_{1}
, симметричная H
относительно точки M
, лежит на описанной окружности треугольника и диаметрально противоположна вершине A
треугольника APQ
. Следовательно, точка H_{1}
фиксирована. Заметим, что при гомотетии с центром H_{1}
и коэффициентом 2 точка H
является образом точки M
. Поскольку точка M
лежит на фиксированной окружности (на окружности с фиксированным диаметром KO
), то и точка H
также лежит на фиксированной окружности (см. задачу 6400).
Примечание. Решение можно было завершить и по-другому. Поскольку точка M
движется по окружности, точка пересечения медиан G
треугольника APQ
также движется по окружности, гомотетичной первой с центром A
и коэффициентом \frac{2}{3}
. Гомотетия с фиксированным центром O
и коэффициентом 3 переводит G
в H
(см. задачу 5044), так что и H
движется по окружности.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2018, № 3, 10-11 классы