10756. Биссектриса угла A
остроугольного треугольника ABC
перпендикулярна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что \angle A=60^{\circ}
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника, O
— центр описанной окружности, R
— её радиус, M
— середина стороны BC
, L
— середина меньшей дуги BC
описанной окружности. Тогда AL
— биссектриса угла A
(см. задачу 430), а так как \angle OAC=\angle BAH
(см. задачу 20), то AL
— биссектриса угла OAH
. Значит, биссектриса треугольника AOH
, проведённая из вершины A
, является его высотой. Следовательно,
AH=AO=OL=R.
Кроме того,
OM=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}R
(см. задачу 1257), поэтому M
— середина OL
. В треугольнике OCL
высота CM
является медианой, значит,
CL=OC=R=OL,
т. е. треугольник OCL
равносторонний. Тогда \angle COL=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot2\angle COL=60^{\circ}.