10779. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
, вписанного в окружность, параллельна хорде, соединяющей середины дуг AB
и AC
(см. рисунок).
Решение. Пусть M
и N
— середины дуг AB
и AC
соответственно. Тогда CM
и BN
— биссектрисы углов при вершинах C
и B
треугольника ABC
(см. задачу 430). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому луч с началом A
, проходящий через точку пересечения хорд CM
и BN
, есть биссектриса угла при вершине A
треугольника ABC
. Этот луч пересекает описанную окружность треугольника ABC
в середине K
дуги BC
. Тогда AK\perp MN
(см. задачу 33), а так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны (см. задачу 937), то прямая AK
перпендикулярна биссектрисе внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
. Следовательно, эта биссектриса параллельна хорде MN
.