10793. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен 16. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 588.
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольная трапеция с основаниями AD
и BC
, AB\perp AD
, O
— центр её вписанной окружности, M
— точка касания с большей боковой стороной CD
, DM=16
.
Треугольник COD
прямоугольный (см. задачу 313), OM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728),
CM=\frac{OM^{2}}{DM}=\frac{144}{16}=9,~CD=CM+DM=9+16=25.
Высота h
данной трапеции равна меньшей боковой стороне, т. е. h=AB=2OM=24
, а так как трапеция описанная, суммы её противоположных сторон равны (см. задачу 310), т. е.
AD+BC=AB+CD=24+25=49.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{49}{2}\cdot24=49\cdot12=588.