10885. На сторонах BC
и CD
квадрата ABCD
выбраны точки M
и N
соответственно так, что \angle MAN=45^{\circ}
. Диагональ BD
пересекает отрезки AM
и AN
в точках P
и Q
соответственно, H
— ортоцентр треугольника MAN
. Докажите, что:
а) четырёхугольник PQNM
вписанный;
б) \angle PCQ=45^{\circ}
;
в) S_{\triangle MAN}=2S_{\triangle PAQ}
;
г) AH=MN=PQ\sqrt{2}
;
д) MN^{2}=2(BP^{2}+DQ^{2})
.
Решение. а) Отрезки NP
и MQ
— высоты треугольника MAN
(см. задачу 10884), значит, точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром MN
. Следовательно, четырёхугольник PQNM
вписанный.
б) Вершины C
и A
симметричны относительно диагонали BD
квадрата ABCD
, следовательно,
\angle PCQ=\angle PAQ=45^{\circ}.
в) Поскольку NP
и MQ
— высоты остроугольного треугольника MAN
, треугольник MAN
подобен треугольнику QAP
с коэффициентом
k=\frac{1}{\cos\angle MAN}=\frac{1}{\cos45^{\circ}}=\sqrt{2}
(см. задачу 19), следовательно (см. задачу 3008),
S_{\triangle MAN}=k^{2}S_{\triangle PAQ}=(\sqrt{2})^{2}S_{\triangle PAQ}=2S_{\triangle PAQ}.
г) Пусть O
— центр описанной окружности треугольника MAN
, K
— середина стороны MN
. Тогда CMON
— вписанный четырёхугольник (см. решение задачи 10883), поэтому MON
— равнобедренный прямоугольный треугольник с высотой OK=\frac{1}{2}MN
. Следовательно (см. задачу 1257),
AH=2OK=MN=k\cdot PQ=\sqrt{2}PQ
(k=\sqrt{2}
— коэффициент подобия треугольников MAN
и QAP
).
д) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник BAD
. Точки P
и Q
расположены на его гипотенузе, причём \angle PAQ=45^{\circ}
. Тогда (см. задачу 10124)
MN^{2}=(\sqrt{2}PQ)^{2}=2PQ^{2}=2(BP^{2}+DQ^{2}).
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.
Автор: Гаркавый А. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2014, № 4, с. 35
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 312, с. 42