10887. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
квадрата ABCD
взяты соответственно точки K
, M
, N
и L
так, что \angle KMA=\angle MAN=\angle LNA=45^{\circ}
. Пусть KL
пересекает AM
и AN
в точках F
и G
соответственно. Докажите, что
S_{\triangle KMF}+S_{\triangle LNG}=S_{\triangle FAG}.
Решение. Докажем, что AK=KL
. Тогда \angle ALK=45^{\circ}=\angle AMK
, значит, точки A
, K
, M
и L
лежат на одной окружности. Аналогично, точки A
, K
, N
и L
лежат на одной окружности. Значит, все пять точек A
, K
, L
, M
и N
лежат на одной окружности. Отсюда будет следовать доказываемое равенство (см. второй способ решения задачи 10886). Итак, доказательство равенства AK=KL
.
Первый способ. Пусть окружность, описанная около треугольника AMN
, пересекает стороны AB
и AD
квадрата в точках K'
и L'
соответственно (рис. 1). Поскольку \angle MAN=45^{\circ}
, центр O
этой окружности лежит на диагонали AC
(см. задачу 10251), Значит, точки K'
и L'
симметричны относительно AC
, т. е. \angle K'L'A=45^{\circ}
. Из равенства вписанных углов следует, что \angle K'MA=\angle K'L'A=45^{\circ}
, т. е. точка K'
совпадает с точкой K
из условия задачи. Аналогично доказывается совпадение точек L
и L'
.
Второй способ. При перегибании квадрата по прямым AM
и AN
точки K
и L
совместятся в точке H
— ортоцентре треугольника MAN
(рис. 2). Это следует из того, что точки B
и D
совмещаются в основании E
высоты AE
этого треугольника (см. задачу 10882), а \angle AMH=\angle ANH=45^{\circ}
(см. задачу 4272). Значит, AK=AL
. Что и требовалось.
Третий способ. Расположив квадрат так, как показано на рисунке 3, рассмотрим поворот с центром A
на угол 90^{\circ}
против часовой стрелки. Аналогично второму способу решения задачи 10882 получим, что образом треугольника AND
является треугольник AN'B
. Докажем, что при таком повороте образом точки L
является точка K
. Для этого достаточно доказать, что \angle AN'K=\angle ANL=45^{\circ}
. Поскольку
\angle N'AM=\angle N'AN-\angle MAN=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle AMK,
прямая MK
содержит высоту треугольника AMN'
, а так как AB
— ещё одна высота этого треугольника, то K
— его ортоцентр. Значит, третья высота лежит на прямой N'K
и \angle AN'K=45^{\circ}
. Таким образом, ASK=AL
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.