10939. Вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB
в точке K
, а вневписанная окружность, соответствующая углу C
, касается стороны AB
в точке L
. Точка N
— точка Нагеля треугольника ABC
(см. задачу 4284), точка T
— точка пересечения отрезка CL
с вписанной окружностью, ближняя к C
. Докажите, что LN=CT
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности, M
— точка пересечения медиан, а F
— середина стороны AB
. Поскольку L
и T
— соответствующие точки при гомотетии с центром в C
, переводящей вневписанную окружность во вписанную, то точки C
, T
и L
лежат на одной прямой. Известно, что AL=BK
(см. задачу 4805), поэтому LF=FK
, а так как TI=IK
, то FI
— средняя линия треугольника LTK
. Значит, LT=2FI
.
Точки N
, M
и I
лежат на одной прямой (прямая Нагеля), причём NM=2MI
(см. задачу 4550). Точка M
делит медиану в отношении 2:1
, считая от вершины. Поэтому треугольники CMN
и FMI
подобны с коэффициентом 2. Отсюда NC=2FI
. Таким образом, LT=NC
. Следовательно, LN=CT
.