10941. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, точки M
и N
— середины дуг ABC
и BAC
описанной окружности. Докажите, что точки M
, I
, N
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC+BC=3AB
.
Решение. Докажем, что если точки M
, I
, N
лежат на одной прямой, то AC+BC=3AB
.
Первый способ. Обозначим через A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
середины дуг соответственно BC
, CA
и AB
, не содержащих других вершин треугольника ABC
, т. е. точки пересечения с описанной окружностью треугольника ABC
биссектрис углов A
, B
и C
(рис. 1).
Точка A_{1}
— середина дуги BC
, не содержащей точки A
, а точка N
— середина дуги BAC
, а так как сумма этих дуг равна 360^{\circ}
, то A_{1}N
— диаметр окружности. Аналогично, B_{1}M
— диаметр окружности. Следовательно, отрезки A_{1}B_{1}
и MN
равны и параллельны.
Биссектрисы треугольника ABC
перпендикулярны сторонам треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 33), поэтому A_{1}B_{1}\perp CC_{1}
.
Пусть C_{2}
— точка пересечения CC_{1}
и A_{1}B_{1}
. Тогда C_{1}C_{2}
— высота треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, а I
— его ортоцентр. Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно сторон, лежат на его описанной окружности (см. задачу 4785), поэтому C_{2}
— середина CI
.
Диаметр окружности, перпендикулярный сторонам A_{1}M
и B_{1}N
прямоугольника A_{1}B_{1}NM
, — ось симметрии этого прямоугольника и окружности, поэтому CC_{2}=C_{1}I
. Значит, CI=2IC_{1}
. Из примечания 1 к задаче 10316 и задачи 10940 следует, что это равенство равносильно равенству AC+BC=3AB
, т. е. AB
— четверть периметра треугольника ABC
.
Второй способ. Пусть I_{c}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB
(рис. 2). Точки M
и N
— центры описанных окружностей треугольников ACI_{c}
и BCI_{c}
(см. примечание 3 к задаче 788 — вариант теоремы о трилистнике для середин дуг ABC
и BAC
) Следовательно, MI_{c}=MC
и NI_{c}=NC
, т. е. MN
— серединный перпендикуляр к отрезку CI_{c}
, т. е. I
— середина CI_{c}
. Мы снова получили условие, равносильное требуемому.
Примечание. 1. См. статью А.Заславского «Приключения одной задачи», Квант, 2017, N12, с.19-21.
2. См. также заметку С.Арутюняна «Дополнение к приключению одной задачи», Квант, 2018, N5, с.31.