10948. В остроугольном неравностороннем треугольнике ABC
продолжения высот AA_{1}
и BB_{1}
пересекают его описанную окружность в точках A_{0}
и B_{0}
соответственно. Прямая A_{0}B_{0}
пересекает прямую AB
в точке P
. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, K
— центр описанной окружности треугольника ABH
. Докажите, что PH\perp CK
.
Решение. Пусть \Omega_{1}
и \Omega_{2}
— окружности, описанные около треугольников ABH
и A_{0}B_{0}H
. Пусть прямая PH
вторично пересекает окружность \Omega_{1}
в точке X
. Тогда PX\cdot PH=PA\cdot PB
(см. задачу 2636). Кроме того, PX\cdot PH=PA_{0}\cdot PB_{0}
, поскольку точки A
, B
, A_{0}
, B_{0}
лежат на одной окружности. Значит, PX\cdot PH=PA_{0}\cdot PB_{0}
, откуда следует, что A_{0}
, B_{0}
, H
, X
лежат на одной окружности (см. задачу 114), т. е. точка X
лежит на окружности \Omega_{2}
. Тогда HX
— общая хорда окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
.
Точки A_{0}
и H
симметричны относительно прямой BC
(см. задачу 4785). Отсюда CA_{0}=CH
. Аналогично, CB_{0}=CH
. Поэтому C
— это центр окружности \Omega_{2}
. Значит, CK
— линия центров окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
. Значит, CK\perp HX
(см. задачу 1130), или CK\perp PH
. Что и требовалось доказать.
Автор: Богачёв Н. В.
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 2, с. 14, М2417
Источник: Задачник «Кванта». — М2417