10974. Точка равностороннего треугольника соединена отрезками с его вершинами, а также из неё опущены перпендикуляры на его стороны (см. рис.). Названные отрезки разрезали равносторонний треугольник на шесть прямоугольных треугольников — красные и синие через один. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка внутри равностороннего треугольника ABC
, а A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на стороны BC
, AC
, AB
соответственно.
Через точку M
проведём прямые, параллельные сторонам треугольника ABC
. Получим три параллелограмма и три равносторонних треугольника. Пусть сторона параллелограмма с вершиной A
, лежащая на AC
, равна a
, сторона параллелограмма с вершиной B
, лежащая на AB
, равна b
, сторона параллелограмма с вершиной C
, лежащая на BC
, равна c
. Тогда смежные стороны указанных параллелограммов равны c
, a
и b
соответственно. Стороны трёх равносторонних треугольников, лежащие на BC
, AB
и AC
соответственно, обозначим через 2x
, 2y
и 2z
. Тогда катеты красных прямоугольных треугольников, лежащие на сторонах треугольника ABC
равны a+z
, c+x
и b+y
, а катеты синих прямоугольных треугольников, лежащих на этих же сторонах, равны b+z
, a+x
, c+y
. Значит, суммы этих катетов трёх красных треугольников равны сумме соответствующих катетов трёх синих.
Известно, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольных треугольник AMB_{1}
равен AB_{1}+MB_{1}-AM
(см. задачу 217), т. е. сумме катетов без гипотенузы. Аналогично для остальных пяти рассматриваемых прямоугольных треугольников.
У двух разноцветных прямоугольных треугольников, прилежащих к одной стороне треугольника ABC
, есть общий катет, а у двух разноцветных прямоугольных треугольников, прилежащих к разным сторонам треугольника ABC
, — общая гипотенуза. Тогда сумма всех катетов красных треугольников равна сумме всех катетов синих, а сумма гипотенуз красных — сумме гипотенуз синих, значит, сумма диаметров вписанных окружностей красных треугольников равна сумме диаметров синих. Отсюда следует решение задачи.
Второй способ. Сумма площадей красных прямоугольных треугольников равна сумме площадей синих (см. задачу 6134). Радиус вписанной окружности треугольника равен его удвоенной площади, делённой на периметр (см. задачу 452). Учитывая, что сумма всех катетов красных треугольников равна сумме всех катетов синих, а сумма гипотенуз красных — сумме гипотенуз синих (см. первый способ), получим требуемое.