11016. Точка K
— центр вневписанной окружности треугольника MCN
, касающейся стороны MN
в точке R
и продолжений сторон CM
и CN
в точках P
и Q
соответственно. Прямые KM
и KN
пересекают отрезок PQ
в точках U
и V
соответственно. Докажите, что U
и V
— основания высот треугольника MKN
, а треугольник RUV
подобен треугольнику CNM
с коэффициентом \sin\frac{1}{2}\angle C
.
Решение. Обозначим \angle CMN=\alpha
, \angle CNM=\beta
, \angle MCN=\gamma
. Тогда
\angle MPV=\angle CPQ=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\angle MKN=\angle MKV
(см. задачу 4770). Из точек P
и K
, лежащих по одну сторону от прямой MV
, отрезок MV
виден под одним и тем же углом, значит, точки P
, K
, M
и V
лежат на одной окружности (см. задачу 12), а так как \angle KPM=90^{\circ}
, то KM
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle MVK=90^{\circ}
, т. е. MV
— высота треугольника MKN
. Аналогично, NU
— тоже высота этого треугольника.
RUV
— ортотреугольник остроугольного треугольника MKN
, поэтому (см. задачу 533)
\angle MUR=\angle KUV=\angle MNK=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
\angle RUV=180^{\circ}-\angle MUR-\angle KUV=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\beta=\angle CNM.
Аналогично, \angle RVU=\angle CMN
. Следовательно, треугольник RUV
подобен треугольнику CNM
по двум углам. Пусть k=\frac{UV}{MN}
— коэффициент подобия.
Поскольку MV
и NV
— высоты остроугольного треугольника MKN
, треугольник UKV
подобен треугольнику NKM
(см. задачу 19), причём коэффициент подобия равен
\frac{UV}{MN}=\cos\angle MKN=\cos\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\sin\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
k=\frac{UV}{MN}=\sin\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью Э.Готмана и В.Дубровского: «О свойствах центра вневписанной окружности», Квант, 1989, N9, с.38-39.