11017. В треугольнике ABC
точка M
лежит на стороне AB
, точка N
— на стороне BC
, O
— точка пересечения отрезков CM
и AN
. Известно, что AM+AN=CM+CN
. Докажите, что AO+AB=CO+CB
.
Решение. Пусть p_{1}
, p_{2}
и p_{3}
— полупериметры треугольников ABN
, BCM
и AMO
соответственно. Тогда
2p_{1}=AB+BN+AN=(AM+MB)+BN+AN=
=(AM+AN)+(MB+BN),
2p_{2}=MB+BC+CN=MB+(BN+CN)+CM=
=(CM+CN)+(MB+BN),
а так как AM+AN=CM+CN
, то p_{1}=p_{2}
.
Отложим на сторонах угла ABC
отрезки AT=AQ=p_{1}=p_{2}
. Тогда вневписанные окружности треугольников ABN
и BCM
касаются сторон угла ABC
в точках T
и Q
(см. задачу 4805). Следовательно, вневписанная окружность треугольника ABN
, касающаяся стороны AN
, является вневписанной окружностью и треугольника BCM
, и треугольника AMO
. Тогда
2MT=2BT-2BM=2p_{2}-2BM=BC+CM-BM=
=BC+(CO+MO)-BM
и
2MT=2p_{3}=AM+MO+AO=(AB-BM)+MO+AO.
Из равенства
BC+CO+MO-BM=AB-BM+MO+AO
получаем, что AO+AB=CO+CB
.
Примечание. Аналогично можно доказать, что из второго равенства задачи следует первое, и что оба они эквивалентны третьему равенству — BM+OM=BN+ON
.
Заметим, что и для существования вписанной окружности четырёхугольника OMBN
, кроме известного условия OM+BN=ON+BM
, есть ещё два равносильных: AM+MC=AN+NC
и AO+BC=CO+BA
(см. задачи 1348, 1349).