11051. Теорема Тири. Докажите, что если AS
и AM
— соответственно симедиана и медиана треугольника ABC
, то \frac{AS}{AM}=\frac{2AB\cdot AC}{AB^{2}+AC^{2}}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AC=b
. Тогда
\frac{BS}{CM}=\frac{S_{\triangle BAS}}{S_{\triangle CAM}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AS\sin\angle BAS}{\frac{1}{2}AC\cdot AM\sin\angle CAM}=\frac{AB\cdot AS}{AC\cdot AM}=\frac{c\cdot AS}{b\cdot AM}
(так как \angle BAS=\angle CAS
). Отсюда получаем, что \frac{AS}{AM}=\frac{b}{c}\cdot\frac{BS}{CM}
.
Поскольку \frac{BS}{SC}=\frac{c^{2}}{b^{2}}
(см. задачу 4121 или 11048) и BS+SC=BC=a
, то BS+\frac{b^{2}}{c^{2}}BS=a
, откуда находим, что BS=\frac{ac^{2}}{b^{2}+c^{2}}
. Кроме того, CM=\frac{a}{2}
. Следовательно,
\frac{AS}{AM}=\frac{b}{c}\cdot\frac{BS}{CM}=\frac{b}{c}\cdot\frac{\frac{ac^{2}}{b^{2}+c^{2}}}{\frac{a}{2}}=\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}=\frac{2AB\cdot AC}{AB^{2}+AC^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Следствие. Формула для симедианы.
AS=\frac{2AB\cdot AC}{AB^{2}+AC^{2}}\cdot AM=\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}
(см. задачу 4014).