11061. Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине A
треугольника ABC
пересекают прямую BC
в точках D
и E
. Окружность с диаметром DE
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках A
и X
. Докажите, что луч AX
содержит симедиану AS
треугольника ABC
.
Указание. См. задачи 2444, 11058, 11054.
Решение. Окружность с диаметром DE
— это окружность Аполлония отрезка BC
(см. задачу 2444), значит, для точки X
, лежащей на этой окружности, верно равенство
\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}
(см. задачу 1509). Тогда луч XD
— биссектриса угла BXC
вписанного четырёхугольника ABXC
(см. задачу 1510). Значит, биссектрисы углов при противоположных вершинах A
и X
этого четырёхугольника пересекаются на на его диагонали BC
, поэтому четырёхугольник ABXC
— гармонический (см. задачу 11058). Следовательно, луч AX
содержит симедиану AS
треугольника ABC
(см. задачу 11054).
Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.156, с. 120
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 4, с. 38, задача 5