11069. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— проекции точки Лемуана K
на стороны соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Докажите, что K
— точка пересечения медиан треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, KA_{1}=a_{1}
, KB_{1}=b_{1}
, KC_{1}=c_{1}
, а расстояния от точки M
пересечения медиан треугольника ABC
до сторон BC
, AC
и AB
— a_{2}
, b_{2}
и c_{2}
соответственно.
Точки M
и K
изогонально сопряжены относительно углов треугольника ABC
, поэтому
a_{1}a_{2}=b_{1}b_{2}=c_{1}c_{2}
(см. задачу 11045). Треугольники BMC
, AMC
и AMB
равновелики (см. задачу 3013), поэтому
aa_{2}=bb_{2}=cc_{2}.
Разделив второе из этих равенств на первое, получим, что
\frac{a}{a_{1}}=\frac{b}{b_{1}}=\frac{c}{c_{1}},~\mbox{или}~ab_{1}=a_{1}b,~bc_{1}=b_{1}c,~ac_{1}=a_{1}c.
Кроме того, по теореме синусов
\sin\angle A_{1}KB_{1}=\sin\angle ACB=\frac{c}{2R},
где R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, поэтому
S_{\triangle A_{1}KB_{1}}=\frac{1}{2}a_{1}b_{1}\sin\angle A_{1}KB_{1}=\frac{1}{2}a_{1}b_{1}\cdot\frac{c}{2R}=\frac{a_{1}b_{1}c}{4R}.
Аналогично
S_{\triangle A_{1}KC_{1}}=\frac{a_{1}c_{1}b}{4R},~S_{\triangle B_{1}KC_{1}}=\frac{b_{1}c_{1}a}{4R},
а так как
ab_{1}=a_{1}b,~bc_{1}=b_{1}c,~ac_{1}=a_{1}c,
то
S_{\triangle A_{1}KB_{1}}=S_{\triangle A_{1}KC_{1}}=S_{\triangle B_{1}KC_{1}}.
Следовательно, K
— точка пересечения медиан треугольника ABC
(см. задачу 3155).
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — с. 156
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.162, с. 120