11167. Хорды AB
и CD
окружности с центром O
равны 4. Продолжения отрезков BA
и CD
за точки A
и D
соответственно пересекаются в точке P
. Прямая PO
пересекает отрезок AC
в точке L
, причём AL:LC=2:3
.
а) Найдите AP
.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности равен 2,5, а точка T
— центр окружности, вписанной в треугольник ACP
. Найдите длину отрезка PT
и площадь треугольника ACP
.
Ответ. а) AP=8
; б) PT=\frac{\sqrt{409}-5}{2}
, S_{\triangle ACP}=\frac{5760}{409}
.
Решение. а) Пусть ON
и OH
— перпендикуляры к хордам AB
и CD
соответственно. Равные хорды равноудалены от центра окружности (см. задачу 1673), поэтому ON=OH
. Значит, прямоугольные треугольники ONP
и OHP
равны по катету и гипотенузе. Тогда PN=PH
, а PO
— биссектриса угла BPC
. Кроме того, N
и H
— середины хорд AB
и CD
(см. задачу 1676), поэтому
PA=PN-AN=PH-DH=PD.
Обозначим PA=PD=y
. Пусть E
— точка пересечения PO
и AC
. Тогда PE
— биссектриса треугольника APC
, значит (см. задачу 1509),
\frac{2}{3}=\frac{AE}{EC}=\frac{AP}{PC}=\frac{AP}{PD+DH}=\frac{y}{y+4}.
Отсюда находим, что AP=y=8
.
б) Биссектриса вписанного угла ACD
проходит (как и луч PE
) через середину дуги, не содержащей точки C
(см. задачу 430), значит, центр T
окружности, вписанной в треугольник ACP
(точка пересечения биссектрис треугольника), совпадёт с серединой этой дуги.
Из прямоугольного треугольника DOH
находим, что
OH=\sqrt{OD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-4}=\frac{3}{2}.
Обозначим \angle CPE=\angle APE=\beta
. Тогда
\tg\beta=\frac{OH}{PH}=\frac{\frac{3}{2}}{8+2}=\frac{3}{20},
\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{400}}}=\frac{20}{\sqrt{409}},~\sin\beta=\tg\beta\cos\beta=\frac{3}{\sqrt{409}}.
Следовательно,
S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AP\cdot CP\sin2\beta=AP\cdot CP\sin\beta\cos\beta=8\cdot12\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}\cdot\frac{20}{\sqrt{409}}=\frac{5760}{409}
Из прямоугольного треугольника POH
находим, что
PO=\frac{PH}{\cos\beta}=\frac{10}{\frac{20}{\sqrt{409}}}=\frac{\sqrt{409}}{2}.
Следовательно,
PT=PO-OT=\frac{\sqrt{409}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{409}-5}{2}.
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 9, с. 45, вариант 2, задача 4
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2019, вариант 2, задача 4