11168. Дана равнобокая трапеция ABCD
(AD\parallel BC
, AD\gt BC
). Окружность вписана в угол BAD
, касается отрезка BC
в точке C
и повторно пересекает CD
в точке E
. Известно, что CE=9
, ED=7
. Найдите радиус окружности и площадь трапеции ABCD
.
Ответ. R=6
, S_{ABCD}=24(4+\sqrt{7})
.
Решение. Пусть H
— точка касания окружности с основанием AD
. Тогда CH
— высота трапеции и диаметр окружности, поэтому \angle CEH=90^{\circ}
. Значит, HE
— высота прямоугольного треугольника CHD
. Следовательно (см. задачу 2728),
CH^{2}=CB\cdot CD=9\cdot16,
откуда CD=12
, а радиус окружности равен 6.
Пусть O
— центр окружности, P
— точка касания с боковой стороной AB
. Тогда треугольник AOB
прямоугольный (см. задачу 313), а OP
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Обозначим AP=x
. Поскольку трапеция равнобокая, AB=CD=16
. Значит,
AP\cdot BP=OP^{2},~\mbox{или}~x(16-x)=36.
Наибольший корень этого уравнения равен 8+2\sqrt{7}
, а так как AH=AP=8+2\sqrt{7}
и отрезок AH
равен средней линии трапеции (см. задачу 1921), то
S_{ABCD}=AH\cdot CH=(8+2\sqrt{7})12=24(4+\sqrt{7}).