11191. Четырёхугольник ABCD
, у которого нет параллельных сторон, описан около окружности с центром O
. Середины сторон AB
, BC
, CD
, DA
обозначены K
, L
, M
, N
соответственно. Докажите, что если точки O
, K
, M
лежат на одной прямой, то точки O
, L
, N
также лежат на одной прямой.
Решение. Известно, что для описанного четырёхугольника прямая, проходящая через середины его диагоналей (называемая прямой Гаусса четырёхугольника, см. задачу 6149), проходит через центр вписанной окружности (см. задачу 4773, теорема Ньютона).
Пусть P
и Q
— середины диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
. Тогда PQ
проходит через точку O
. Поскольку AD
и BC
непараллельны, KQMP
— параллелограмм (см. задачу 1234), а так как точка O
лежит на PQ
и, по условию задачи, на KM
, то O
— точка пересечения диагоналей этого параллелограмма, т. е. середина отрезка PQ
. Аналогично предыдущему, LPNQ
— параллелограмм, поэтому его диагональ LN
проходит через середину O
другой диагонали PQ
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Укажем ещё несколько эквивалентных условий, задающих класс описанных четырёхугольников ABCD
без параллельных сторон, о котором идёт речь в задаче.
Условие 0. Отрезок KM
проходит через точку O
.
Условие 1. Точка O
является центром четырёх равных масс, размещённых в вершинах A
, B
, C
, D
.
Условие 2. Выполняется равенство OA\cdot OC=OB\cdot OD
.
Для формулировки следующих условий введём дополнительные обозначения: пусть K'
и M'
— точки касания окружности со сторонами AB
и CD
, K''
и M''
— точки, симметричные точкам K'
и M'
относительно K
и M
соответственно.
Условие 3. KM\parallel K'M'
.
Условие 4. Прямые K''M''
, BC
, AD
пересекаются в одной точке.
Условие 5. Центр тяжести вершин четырёхугольника, центр тяжести его периметра и центр тяжести сплошного четырёхугольника лежат на одной прямой.
Эквивалентность условий 0 и 1 является фактически переформулировкой данной задачи.
Об условии 2 см. задачу 7 для 11 класса заключительного этапа XXXI Всероссийской олимпиады школьников (Квант, 2005, N5, с.47).
Об условиях 3 и 4 см. задачу 7 для 11 класса заключительного этапа XXVI Всероссийской олимпиады школьников (Квант, 2000, N5, с.50).