11214. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
отмечены точки D
, E
и F
соответственно. Докажите, что если:
а) AD
, BE
и CF
— биссектрисы треугольника, то треугольники DEF
и BDF
равновелики тогда и только тогда, когда числа a
, b
и c
в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию;
б) AD
, BE
и CF
— высоты треугольника, а EF=d
, FD=e
и DE=f
, то отношение площадей треугольников DEF
и ABC
равно \frac{2def}{abc}
.
Решение. а) Поскольку
\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2abc}{(b+c)(c+a)(a+b)}
(см. задачу 3106), а также
\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BD\cdot BF}{ac}=\frac{ac}{(b+c)(a+b)},
то
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle BDF}~\Leftrightarrow~\frac{2abc}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{ac}{(b+c)(a+b)}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{2b}{c+a}=1~\Leftrightarrow~2b=c+a.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда радиус описанной окружности треугольника DEF
, т. е. окружности девяти точек треугольника ABC
, равен \frac{1}{2}R
(см. задачу 174). Следовательно (см. задачу 4259),
\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{def}{4\cdot\frac{1}{2}R}}{\frac{abc}{4R}}=\frac{2def}{abc}.
Что и требовалось доказать.