11236. В треугольнике ABC
проведена медиана CM
, а в треугольниках AMC
и BMC
— биссектрисы MP
и MQ
соответственно.
а) Докажите, что отрезок PQ
параллелен стороне AB
.
б) Найдите площадь треугольника MPQ
, если AC=5
, BC=12
, CM=\frac{13}{2}
.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CP}{PA}=\frac{MC}{MA}=\frac{MC}{MB}=\frac{CQ}{QB}.
Следовательно, PQ\parallel AB
.
б) На продолжении медианы CM
за точку M
отложим отрезок MD=CM
. Тогда ACBD
— параллелограмм (см. задачу 1842), поэтому AD=BC=12
. Треугольник CAD
прямоугольный с прямым углом при вершине A
, так как
AC^{2}+AD^{2}=5^{2}+12^{2}=13^{2}=CD^{2}
(см. задачу 1972), значит, ACBD
— прямоугольник. Тогда AM=MC=MB
, т. е. треугольники AMC
и BMC
равнобедренные. Их биссектрисы MP
и MQ
являются медианами, поэтому MP
, MQ
и PQ
— средние линии прямоугольного треугольника ABC
. Следовательно (см. задачу 1883),
S_{\triangle MPQ}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot12=\frac{15}{2}.