11260. Пусть O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC
, M
— середина стороны BC
, E
— середина отрезка AH
, биссектриса AL
треугольника ABC
пересекает отрезок ME
в точке N
. Докажите, что:
а) NE=AE
;
б) \angle ANH=90^{\circ}
.
Решение. Пусть треугольник ABC
остроугольный.
а) Отрезки AE
и OM
параллельны и равны (см. задачу 1257), поэтому AOME
— параллелограмм. Значит, OA\parallel ME
.
Поскольку \angle OAC=\angle BAH
(см. задачу 20), луч AN
— биссектриса угла OAE
, а так как OA\parallel ME
, то
\angle NAE=\angle OAN=\angle EAN.
Значит, треугольник NAE
равнобедренный, NE=AE
. Что и требовалось доказать.
б) Медиана NE
треугольника ANH
равна половине стороны AH
, следовательно, этот треугольник прямоугольный, \angle ANH=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого треугольника.
Примечание. См. статью Г.Филипповского «О двух параллелограммах в треугольнике», Квант, 2008, N4, с.34-35.