11261. Пусть G
и H
— соответственно точки пересечения медиан и ортоцентр треугольника ABC
, E
— середина отрезка AH
. Около треугольника ABC
описана окружность. Докажите, что прямая EG
проходит через точку, диаметрально противоположную вершине A
.
Решение. Пусть M
— середина стороны BC
, а K
— точка пересечения прямых OA
и MH
. Поскольку OM\parallel AH
и OM=\frac{1}{2}AH
(см. задачу 1257), отрезок OM
— средняя линия треугольника AKH
. Значит, O
— середина AK
. Тогда точка K
лежит на окружности, описанной около треугольника ABC
. В то же время, K
— точка пересечения продолжений боковых сторон AO
и HM
трапеции AOMH
, а G
— точка пересечения диагоналей этой трапеции, так как точки O
, G
и H
лежат на одной прямой — прямой Эйлера треугольника ABC
(см. задачу 5044). Значит, по замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) прямая EG
проходит через точку K
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. См. статью Г.Филипповского «О двух параллелограммах в треугольнике», Квант, 2008, N4, с.34-35.