11271. Биссектрисы вписанного четырёхугольника образуют в пересечении выпуклый четырёхугольник. Докажите, что диагонали полученного четырёхугольника перпендикулярны.
Решение. Пусть прямые, содержащие стороны AB
и CD
исходного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
, а прямые, содержащие стороны AD
и BC
— в точке Q
(точка A
лежит между B
и P
, точка D
— между A
и Q
).
Докажем сначала, что биссектриса PF
треугольника BPC
перпендикулярна биссектрисе QE
треугольника AQB
. Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный, \angle DCQ=\angle BAD
. Луч QE
— биссектриса угла Q
, поэтому углы треугольника AQE
соответственно равны углам треугольника CQG
, где G
— точка пересечения биссектрисы угла Q
со стороной CD
. Следовательно, \angle CGQ=\angle AEQ
. Углы CGQ
и PGE
равны как вертикальные, поэтому \angle PEG=\angle PGE
, значит, треугольник PEG
равнобедренный. Следовательно, прямая PF
является серединным перпендикуляром к отрезку EG
, т. е. биссектриса PF
угла P
перпендикулярна биссектрисе QE
угла Q
. (Другой способ доказательства перпендикулярности этих биссектрис см. в решении задачи 162.)
Пусть биссектрисы углов B
и C
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке X
, а биссектрисы углов A
и D
— в точке Y
. Тогда X
— точка пересечения биссектрис треугольника BPC
, поэтому биссектриса PF
угла P
проходит через точку X
(см. задачу 1140), а так как Y
— точка пересечения внешних углов при вершинах A
и D
треугольника ADP
, то биссектриса угла P
проходит через точку Y
(см. задачу 1192). Значит, диагональ XY
полученного четырёхугольника, о котором говорится в условии, лежит на биссектрисе угла P
. Аналогично, вторая диагональ этого четырёхугольника лежит на биссектрисе угла Q
. Эти биссектрисы перпендикулярны (доказано выше), следовательно, перпендикулярны и диагонали полученного четырёхугольника.