11272. В окружность вписан четырёхугольник ABCD
. Докажите, что окружности, проведённые через середины сторон треугольников ABC
, BCD
, CDA
, DAB
, имеют общую точку, а их центры лежат на одной окружности.
Решение. Рассматриваемые в задаче окружности — это окружности девяти точек треугольников ABC
, BCD
, CDA
, DAB
(см. задачу 174). Обозначим центры этих окружностей O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
соответственно, точки пересечения медиан этих треугольников — соответственно M_{1}
, M_{2}
, M_{3}
, M_{4}
, центр описанной окружности четырёхугольника ABCD
— O
.
Поскольку окружности девяти точек проходят через середины сторон соответствующих треугольников, они гомотетичны описанной окружности четырёхугольника ABCD
с коэффициентом -\frac{1}{2}
и центрами гомотетии в точках M_{1}
, M_{2}
, M_{3}
, M_{4}
соответственно. Тогда O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— точки, гомотетичные точкам соответственно M_{1}
, M_{2}
, M_{3}
, M_{4}
, с центром гомотетии O
и коэффициентом k_{1}=\frac{3}{2}
, значит, четырёхугольник O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
гомотетичен четырёхугольнику M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}
.
Теперь докажем, что четырёхугольник M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}
гомотетичен исходному четырёхугольнику ABCD
коэффициентом гомотетии k_{2}=-\frac{1}{3}
. Поместим в вершинах четырёхугольника ABCD
равные точечные массы. Центр масс системы A
, B
, C
находится в точке M_{1}
, поэтому центр масс системы A
, B
, C
, D
лежит на отрезке DM_{1}
и делит этот отрезок в отношении 3:1
, считая от точки D
(см. примечание к задаче 7110). Иными словами, точка M_{1}
гомотетична точке D
с центром гомотетии, совпадающим с центром масс системы A
, B
, C
, D
, и коэффициентом гомотетии k_{2}=-\frac{1}{3}
. Аналогично для остальных вершин четырёхугольника M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}
. Следовательно, четырёхугольник O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
гомотетичен четырёхугольнику ABCD
с коэффициентом k=k_{1}\cdot k_{2}=-\frac{1}{2}
(см. задачу 6433), поэтому около четырёхугольника O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
можно описать окружность.
Пусть I
— центр этой окружности. Её радиус равен половине радиуса окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
, так как k=-\frac{1}{2}
. Но таковы же радиусы всех четырёх окружностей девяти точек, т. е. их центры лежат на окружности того же радиуса. Следовательно, все окружности четыре окружности девяти точек через точку I
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно доказать, что центр масс системы A
, B
, C
, D
(или, что то же самое, точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD
, и отрезка, соединяющего середины его диагоналей, см. задачу 1223) — середина отрезка OI
.
Пусть M
— указанный центр масс, N
— центр описанной окружности четырёхугольника M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}
. По доказанному выше, точка N
гомотетична точке O
с центром гомотетии в точке M
и коэффициентом гомотетии -\frac{1}{3}
. Это утверждение можно записать иначе: точка N
гомотетична точке M
с центром гомотетии в точке O
и коэффициентом \frac{4}{3}
. В то же время, точка I
гомотетична точке N
с центром гомотетии O
и коэффициентом \frac{3}{2}
. Следовательно, точка I
гомотетична точке M
с центром гомотетии O
и коэффициентом \frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}=2
. Точка N
делит отрезок OI
в отношении 2:1
, считая от точки O
, поэтому N
— центр гомотетии, переводящей четырёхугольник ABCD
в четырёхугольник O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
.