11302. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, P
и N
— точки касания соответственно вписанной и вневписанной окружностей со стороной BC
, A_{1}
— середина стороны BC
, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Докажите, что прямые A_{1}I
, NG
и AP
пересекаются в одной точке.
Решение. Прямая NG
проходит через середину отрезка AP
, так как G
— точка пересечения медиан треугольника ANP
(см. задачу 11300), а так как A_{1}
— середина отрезка NP
(см. задачу 6411) и A_{1}I\parallel AN
(см. задачу 6729), то по теореме Фалеса прямая A_{1}I
также проходит через середину отрезка AP
. Следовательно, прямые A_{1}I
, NG
и AP
пересекаются в одной точке — середине отрезка AP
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.