11385. Из внешней точки A
к окружности проведены две касательные AB
и AC
(B
и C
— точки касания). Докажите, что прямая, проходящая через их середины не пересекает окружность.
Решение. Пусть O
— центр окружности, D
и E
— середины отрезков AB
и AC
, K
— точка пересечения AO
и DE
, P
— точка пересечения AO
и BC
. Обозначим AO=a
, R
— радиус окружности.
Прямая AO
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
(см. задачу 1180), значит, отрезок BP
— высота прямоугольного треугольника ABO
, проведённая из вершины прямого угла. Тогда (см. задачу 2728)
OP=\frac{OB^{2}}{AO}=\frac{R^{2}}{a},~AP=AO-OP=a-\frac{R^{2}}{a}=\frac{a^{2}-R^{2}}{a},
OK=OP+PK=OP+\frac{1}{2}AP=\frac{R^{2}}{a}+\frac{a^{2}-R^{2}}{2a}=\frac{a^{2}+R^{2}}{2a}\gt R,
так как
\frac{a^{2}+R^{2}}{2a}-R=\frac{a^{2}-2aR+R^{2}}{2a}=\frac{(a-R)^{2}}{2a}\gt0.
Следовательно, точка K
лежит вне окружности, и окружность не имеет ни одной общей точки с прямой DE
.
Примечание. См. также задачу 1897.