11499. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Серединный перпендикуляр к BC
пересекает AB
и AC
в точках X
и Y
. Прямая AO
пересекает прямую BC
в точке D
, M
— середина BC
. Описанная окружность треугольника ADM
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E
, отличной от A
. Докажите, что прямая OE
касается описанной окружности треугольника AXY
.
Решение. Без ограничения общности рассмотрим случай, когда AC\gt AB
. Обозначим, \angle ACB=\gamma
. Угол AOB
— центральный угол описанной окружности треугольника ABC
, соответствующий вписанному углу ACB
, поэтому \angle AOB=2\gamma
. Из равнобедренного треугольника AOB
и прямоугольного треугольника CMX
находим, что
\angle BAO=90^{\circ}-\gamma=\angle MXC=\angle AXY.
Значит, прямая OA
касается описанной окружности треугольника AXY
(см. задачу 144).
Пусть продолжение высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
, пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке F
. Тогда \angle BAF=\angle CAO=\angle CAD
(см. задачу 20), а ADM
— внешний угол треугольника ACD
, поэтому
\angle AEF=\angle AEB+\angle BEF=\angle ACB+\angle BAF=
=\angle ACD+\angle DAC=\angle ADM=\angle AEM
(ADM
и AEM
— вписанные углы окружности, описанной около треугольника ADM
, опирающиеся но одну и ту же дугу), поэтому точки E
, F
и M
лежат на одной прямой. Кроме того,
\angle MEC=\angle FEC=\angle FAC=90^{\circ}-\gamma=\angle MYC,
что значит, что точки E
, Y
, M
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Тогда
\angle AEY=\angle AEC-\angle YEC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle YMC=
=180^{\circ}-\angle ABC-90^{\circ}=90^{\circ}-\angle ABC=\angle AXY,
т. е. точка E
лежит на описанной окружности треугольника AXY
. Тогда прямая OE
— касательная, так как OE=OA
и OA
— касательная к окружности, описанной около треугольника AXY
.
Автор: Соколов А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2020, LXXXIII, 10 класс, задача 4