11513. Пусть A_{1}
и A_{2}
— точки пересечения окружностей S_{1}
и S_{2}
, B_{1}
и B_{2}
— точки пересечения окружностей S_{2}
и S_{3}
, а O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
соответственно. Докажите, что если точки O_{1}
, A_{1}
, O_{2}
, B_{1}
, O_{3}
лежат на одной окружности, то отрезок A_{2}B_{2}
параллелен отрезку O_{1}O_{3}
.
Решение. Пусть окружность S
, проходящая через точки O_{1}
, A_{1}
, O_{2}
, B_{1}
, O_{3}
, вторично пересекает окружности S_{1}
и S_{3}
в точках A_{3}
и B_{3}
соответственно.
Докажем, что точки O_{2}
, A_{2}
и A_{3}
лежат на одной прямой. Действительно, \angle A_{1}O_{2}O_{1}=\angle A_{3}O_{2}O_{1}
как вписанные в окружность S
углы, опирающиеся на равные хорды O_{1}A_{1}
и O_{1}A_{3}
. В то же время, прямая O_{1}O_{2}
— серединный перпендикуляр к общей хорде A_{1}A_{2}
окружностей S_{1}
и S_{2}
(см. задачу 1130), поэтому
\angle A_{2}O_{2}O_{1}=\angle A_{1}O_{2}O_{1}=\angle A_{3}O_{2}O_{1}.
Следовательно, точки O_{2}
, A_{2}
и A_{3}
лежат на одной прямой.
Аналогично, точки O_{2}
, B_{2}
и B_{3}
лежат на одной прямой.
Пусть луч, проведённый через точку O_{2}
перпендикулярно A_{2}B_{2}
, пересекает окружность S
в точке P
. В равнобедренном треугольнике A_{2}O_{2}B_{2}
высота, проведённая из вершины O_{2}
является биссектрисой, поэтому точка P
— середина дуги A_{3}PB_{3}
окружности S
(см. задачу 430). Таким образом, точки O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и P
— середины дуг соответственно A_{1}O_{1}A_{3}
, A_{1}O_{2}B_{1}
, B_{1}O_{3}B_{3}
и B_{3}PA_{3}
окружности S
. Значит, O_{2}P\perp O_{1}O_{3}
. Следовательно, A_{2}B_{2}\parallel O_{1}O_{3}
(см. задачу 28).
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1999-2000, 10 класс