11518. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \omega
. Продолжения противоположных сторон этого четырёхугольника пересекаются в точках K
и N
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника AKN
, касается окружности \omega
тогда и только тогда, когда, окружность, описанная около треугольника CKN
, касается окружности \omega
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (другие случаи рассматриваются аналогично).
Пусть \omega_{1}
— окружность, описанная около треугольника CKN
, а \omega_{2}
— окружность, описанная около треугольника AKN
.
Если окружность \omega_{1}
касается окружности \omega
, то в точке C
у этих окружностей есть общая касательная l_{1}
(см. задачу 1759). Пусть X
и Y
— точки прямой l_{1}
, лежащие про разные стороны от C
, причём точки X
и K
лежат по одну сторону от прямой AC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle CNK=\angle XCK=\angle YCB=\angle CDB.
Следовательно, KN\parallel BD
, поэтому \angle ADB=\angle DKN
.
Пусть Z
— точка на касательной l_{2}
к окружности \omega
в точке A
, причём Z
и Y
лежат по одну сторону от прямой AC
. Тогда
\angle ZAN=\angle ZAB=\angle ADB=\angle DKN=\angle AKN.
Значит, l_{2}
— касательная к окружности \omega_{2}
(см. задачу 144). Следовательно, l_{2}
— общая касательная окружностей \omega
и \omega_{2}
.
Аналогично, если касаются окружности \omega
и \omega_{2}
, то касаются окружности \omega
и \omega_{1}
.
Второй способ. Пусть окружность \omega
и \omega_{2}
касаются в точке A
, а r
, r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей \omega
, \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{r_{2}}{r}
окружность \omega
переходит в \omega_{2}
, точка D
— в точку K
, точка B
— в N
. Значит, KN\parallel DB
.
Тогда при гомотетии с центром C
и коэффициентом -\frac{r_{2}}{r}
треугольник CDB
переходит в треугольник CNK
. Значит, окружность \omega
, описанная около треугольника CDB
переходит в окружность \omega_{1}
, описанную около треугольника CNK
. Следовательно, эти окружности касаются, так как центр гомотетии лежит на одной из них (см. задачу 6401).
Обратное аналогично.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 2000-2001, 9 класс