11602. Существует ли треугольник, в котором каждая из двух медиан по крайней мере в полтора раза длиннее стороны, к которой она проведена.
Решение. Первый способ. Пусть стороны треугольника равны
a
,
b
и
c
, а медианы, проведённые к сторонам
b
и
c
равны
m_{b}
и
m_{c}
соответственно. Предположим, что
m_{b}\geqslant\frac{3}{2}b
и
m_{c}\geqslant\frac{3}{2}c
. Поскольку
m_{b}\lt\frac{1}{2}(a+c)~\mbox{и}~m_{c}\lt\frac{1}{2}(a+b)

(см. задачу 3504), то
\frac{1}{2}(a+c)\gt\frac{3}{2}b~\mbox{и}~\frac{1}{2}(a+b)\gt\frac{3}{2}c.

Сложив эти два неравенства и умножив результат на 2, получим, что
a+c+a+b\gt3b+3c,~\mbox{или}~a\gt b+c,

что противоречит неравенству треугольника.
Второй способ. Пусть
BB_{1}
и
CC_{1}
— медианы треугольника
ABC
,
M
—их точка пересечения. Предположим, что
BB_{1}\geqslant\frac{3}{2}AC
и
CC_{1}\geqslant\frac{3}{2}AB
. Медианы точкой пересечения делятся в отношении
2:1
, считая от вершины треугольника, поэтому
MB_{1}=\frac{1}{3}BB_{1}
и
MC_{1}=\frac{1}{3}CC_{1}
. Тогда
MB_{1}\geqslant AC
и
MC_{1}\geqslant AB
.
Медиана
MB_{1}
треугольника
AMC
не меньше половине стороны
AC
, поэтому точка
M
лежит вне окружности с диаметром
AC
или на этой окружности (см. задачу 3550). Значит,
\angle AMC\leqslant90^{\circ}
(см. задачу 1772). Аналогично,
\angle AMB\leqslant90^{\circ}
. Тогда
\angle BMC\geqslant180^{\circ}
, что невозможно, так как точка
M
лежит внутри треугольника
ABC
.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2009, № 499, с. 137, 9 класс, задача 4