11602. Существует ли треугольник, в котором каждая из двух медиан по крайней мере в полтора раза длиннее стороны, к которой она проведена.
Решение. Первый способ. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, а медианы, проведённые к сторонам b
и c
равны m_{b}
и m_{c}
соответственно. Предположим, что m_{b}\geqslant\frac{3}{2}b
и m_{c}\geqslant\frac{3}{2}c
. Поскольку
m_{b}\lt\frac{1}{2}(a+c)~\mbox{и}~m_{c}\lt\frac{1}{2}(a+b)
(см. задачу 3504), то
\frac{1}{2}(a+c)\gt\frac{3}{2}b~\mbox{и}~\frac{1}{2}(a+b)\gt\frac{3}{2}c.
Сложив эти два неравенства и умножив результат на 2, получим, что
a+c+a+b\gt3b+3c,~\mbox{или}~a\gt b+c,
что противоречит неравенству треугольника.
Второй способ. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— медианы треугольника ABC
, M
—их точка пересечения. Предположим, что BB_{1}\geqslant\frac{3}{2}AC
и CC_{1}\geqslant\frac{3}{2}AB
. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника, поэтому MB_{1}=\frac{1}{3}BB_{1}
и MC_{1}=\frac{1}{3}CC_{1}
. Тогда MB_{1}\geqslant AC
и MC_{1}\geqslant AB
.
Медиана MB_{1}
треугольника AMC
не меньше половине стороны AC
, поэтому точка M
лежит вне окружности с диаметром AC
или на этой окружности (см. задачу 3550). Значит, \angle AMC\leqslant90^{\circ}
(см. задачу 1772). Аналогично, \angle AMB\leqslant90^{\circ}
. Тогда \angle BMC\geqslant180^{\circ}
, что невозможно, так как точка M
лежит внутри треугольника ABC
.