11644. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AB
, BC
, CA
в точках C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно. Точки K
, L
, M
, N
— середины отрезков AB_{1}
, AC_{1}
, BA_{1}
BC_{1}
соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых KL
и MN
равноудалена от точек A
и B
.
Решение. Пусть J
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A
и B
треугольника ABC
. Треугольник AB_{1}C_{1}
равнобедренный, а AJ
— биссектриса его внешнего угла при вершине, поэтому AJ\parallel B_{1}C_{1}
(см. задачу 1174). Аналогично, BJ\parallel A_{1}C_{1}
.
По теореме о средней линии треугольника KL\parallel B_{1}C_{1}\parallel AJ
и MN\parallel A_{1}C_{1}\parallel BJ
, поэтому по теореме Фалеса прямые KL
и MN
пересекаются в середине T
отрезка C_{1}J
.
Пусть C_{2}
— проекция точки J
на прямую AB
, т. е. точка касания вневписанной окружности треугольника ABC
со стороной AB
. Тогда AC_{2}=BC_{1}
(см. задачу 4805б), а так как проекция P
середины T
отрезка JC_{1}
на прямую AB
есть середина проекции C_{2}C_{1}
отрезка JC_{1}
на эту прямую (см. задачу 1939), то P
— середина отрезка AB
, т. е. TP
— высота и медиана треугольника ATB
. Следовательно, TA=TB
. Что и требовалось доказать.