11766. В треугольнике ABC
с углом B
, равным 60^{\circ}
, проведены высоты AA_{1}
и CC_{1}
. Точка M
— середина стороны AC
. Докажите, что:
а) AC=2A_{1}C_{1}
;
б) треугольник A_{1}MC_{1}
равносторонний;
в) точка, симметричная точке M
относительно прямой A_{1}C_{1}
, равноудалена от прямых AB
и BC
.
Решение. а), б)
Первый способ. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30^{\circ}
, равен половине гипотенузы, поэтому отрезки A_{1}B
и BC_{1}
равны половинам сторон AB
и BC
соответственно. Следовательно, треугольник A_{1}BC_{1}
равен треугольнику KBL
, где K
и L
— середины сторон соответственно AB
и BC
. Таким образом,
A_{1}C_{1}=KL=\frac{1}{2}AC.
Поскольку A_{1}M
и C_{1}M
— медианы прямоугольных треугольников с гипотенузой AC
, оба отрезка равны \frac{1}{2}AC=A_{1}C_{1}
(см. задачу 1109), поэтому треугольник A_{1}MC_{1}
равносторонний.
Второй способ. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Точка M
— центр этой окружности, поэтому A_{1}M=C_{1}M
. Угол A_{1}CC_{1}
, опирающийся на дугу A_{1}C_{1}
, равен 30^{\circ}
или 150^{\circ}
, поэтому соответствующий центральный угол A_{1}MC_{1}
равен 60^{\circ}
. Следовательно, треугольник A_{1}MC_{1}
равносторонний. Таким образом, отрезок A_{1}C_{1}
равен радиусу окружности, т. е. половине AC
.
Третий способ. Треугольник A_{1}BC_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\angle B=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
(см. задачу 19), значит,
A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}AC=MA_{1}=MC_{1}.
в) Пусть M_{1}
— точка, симметричная точке M
относительно прямой A_{1}C_{1}
. Как показано в п. б), треугольник A_{1}MC_{1}
равносторонний, поэтому треугольник A_{1}M_{1}C_{1}
также равносторонний. Значит,
\angle A_{1}M_{1}C_{1}=60^{\circ}=\angle A_{1}BC_{1},
поэтому точки A_{1}
, C_{1}
, M_{1}
, B
лежат на одной окружности. Пусть, например, точка M_{1}
лежит на дуге C_{1}B
, не содержащей точку A_{1}
. Тогда
\angle M_{1}BC_{1}=\angle M_{1}A_{1}C_{1}=60^{\circ}.
Значит, точка M_{1}
лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
. Следовательно, она равноудалена от прямых AB
и BC
(см. задачу 1138). Что и требовалось доказать.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 285, с. 39