11801. Внутри треугольника ABC
выбрана точка P
. Через неё проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что если шесть точек пересечения этих прямых со сторонами треугольника лежат на одной окружности, то её центр лежит на прямой OP
, где O
— центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть XYZUVW
— полученный шестиугольник (точки X
и Y
лежат на AB
, точки Z
и U
— на BC
, точки V
и W
— на CA
), а AL
— касательная в точке A
к описанной окружности \Omega
треугольника ABC
.
Четырёхугольник XYVW
вписанный, поэтому
\angle AXW=\angle YVW=\angle BCA.
Значит, WX\parallel AL
, так как \angle BCA=\angle BAL
по теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 87).
Пусть при гомотетии с центром в точке P
с коэффициентом \frac{1}{2}
окружность \Omega
переходит в окружность \Omega'
, а её центр O
— в точку O'
. Точка A
при этом перейдёт в точку пересечения диагоналей параллелограмма PWAX
, а по свойству гомотетии касательная AL
перейдёт в параллельную ей прямую WX
, которая будет касаться окружности \Omega'
. Следовательно, окружность \Omega'
касается отрезка WX
в его середине. Аналогичное утверждение можно доказать для отрезков YZ
и UV
. Кроме того, отрезки WX
, YZ
, UV
равны как боковые стороны трапеций, вписанных в окружность (см. задачу 5003). Значит, точки X
, Y
, Z
, U
, V
, W
равноудалены от O'
(см. задачу 1673), поэтому O'
— центр окружности, проходящей через эти точки. По построению точки P
, O
и O'
лежат на одной прямой, так как точка O'
гомотетична точке O
относительно P
.
Автор: Акопян А. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 325, с. 44