11802. Медианы треугольника со сторонами a
, b
и c
равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно, а хорды описанной окружности, высекаемые из неё прямыми, содержащими медианы, равны M_{a}
, M_{b}
и M_{c}
соответственно. Докажите, что
\frac{M_{a}}{m_{a}}+\frac{M_{b}}{m_{b}}+\frac{M_{c}}{m_{c}}\geqslant4.
Решение. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) получаем систему
\syst{4m_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\\4m_{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}\\4m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2},\\}
из которой находим, что
\syst{a^{2}=\frac{8}{9}m_{b}^{2}+\frac{8}{9}m_{c}^{2}-\frac{4}{9}m_{a}^{2}\\b^{2}=\frac{8}{9}m_{a}^{2}+\frac{8}{9}m_{c}^{2}-\frac{4}{9}m_{b}^{2}\\c^{2}=\frac{8}{9}m_{a}^{2}+\frac{8}{9}m_{b}^{2}-\frac{4}{9}m_{c}^{2}.\\}
Тогда из равенства (см. задачу 2627)
m_{a}(M_{a}-m_{a})=\frac{a^{2}}{4}
получаем
M_{a}m_{a}=m_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{4}=m_{a}^{2}+\left(\frac{2}{9}m_{b}^{2}+\frac{2}{9}m_{c}^{2}-\frac{1}{9}m_{a}^{2}\right)=\frac{8}{9}m_{a}^{2}+\frac{2}{9}m_{b}^{2}+\frac{2}{9}m_{c}^{2},
откуда
\frac{M_{a}}{m_{a}}=\frac{\frac{8}{9}m_{a}^{2}+\frac{2}{9}m_{b}^{2}+\frac{2}{9}m_{c}^{2}}{m_{a}^{2}}=\frac{8}{9}+\frac{2}{9}\left(\frac{m_{b}}{m_{a}}\right)^{2}+\frac{2}{9}\left(\frac{m_{c}}{m_{a}}\right)^{2}.
Аналогично,
\frac{M_{b}}{m_{b}}=\frac{8}{9}+\frac{2}{9}\left(\frac{m_{a}}{m_{b}}\right)^{2}+\frac{2}{9}\left(\frac{m_{c}}{m_{b}}\right)^{2}~\mbox{и}~\frac{M_{c}}{m_{c}}=\frac{8}{9}+\frac{2}{9}\left(\frac{m_{a}}{m_{c}}\right)^{2}+\frac{2}{9}\left(\frac{m_{b}}{m_{c}}\right)^{2}.
Следовательно (см. задачу 3399),
\frac{M_{a}}{m_{a}}+\frac{M_{b}}{m_{b}}+\frac{M_{c}}{m_{c}}=
=3\cdot\frac{8}{9}+\frac{2}{9}\left(\left(\frac{m_{a}^{2}}{m_{c}^{2}}+\frac{m_{a}^{2}}{m_{c}^{2}}\right)+\left(\frac{m_{a}^{2}}{m_{b}^{2}}+\frac{m_{b}^{2}}{m_{a}^{2}}\right)+\left(\frac{m_{b}^{2}}{m_{c}^{2}}+\frac{m_{c}^{2}}{m_{b}^{2}}\right)\right)\geqslant
\geqslant\frac{8}{3}+\frac{2}{9}(2+2+2)=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=8.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается для равностороннего треугольника.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1982, № 10 задача 689 (1981, с. 276), с. 307