11830. Около треугольника описана окружность радиуса R
. Построены окружности радиусов r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, каждая из которых касается двух сторон треугольника и его описанной окружности. Докажите, что
4r\leqslant r_{1}+r_{2}+r_{3}\leqslant2R,
где r
— радиус вписанной окружности данного треугольника.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
, \gamma
углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
, C
соответственно, а через a
, b
и c
— противолежащие им стороны. Пусть окружности радиусов r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
вписаны в углы BAC
, ABC
и ACB
соответственно.
Тогда
r_{1}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}},~r_{2}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{\beta}{2}},~r_{3}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{\gamma}{2}}
(см. задачу 11076). Значит,
r_{1}+r_{2}+r_{3}=r\left(\frac{1}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{\cos^{2}\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{\cos^{2}\frac{\gamma}{2}}\right)=r\left(3+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}\right),
а так как для любых чисел x
, y
и z
верно неравенство x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant xy+yz+xz
, то
\tg^{2}\frac{\alpha}{2}+\tg^{2}\frac{\beta}{2}+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}\geqslant\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1
(см. задачу 4438). Следовательно,
r_{1}+r_{2}+r_{3}\geqslant r(3+1)=4r.
Докажем вспомогательное неравенство 2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\geqslant\frac{h_{a}}{R}
, где h_{a}
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины A
.
Действительно, если H
— основание этой высоты, то из прямоугольного треугольника AHC
получаем
h_{a}=AH=AC\sin\gamma=2R\sin\beta\sin\gamma.
Значит,
\frac{h_{a}}{R}=2\sin\beta\sin\gamma=\cos(\beta-\gamma)-\cos(\beta+\gamma)\leqslant1+\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}
(так как
(\cos(\beta-\gamma)-\cos(\beta+\gamma)-\cos\alpha=\cos(\beta-\gamma)-\cos(180^{\circ}-\alpha)-\cos\alpha=
=\cos(\beta-\gamma)+\cos\alpha-\cos\alpha=\cos(\beta-\gamma)\leqslant1).
Что и требовалось доказать.
Аналогично,
2\cos^{2}\frac{\beta}{2}\geqslant\frac{h_{b}}{R},~2\cos^{2}\frac{\gamma}{2}\geqslant\frac{h_{c}}{R}.
Следовательно,
r_{1}+r_{2}+r_{3}=r\left(\frac{1}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{\cos^{2}\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{\cos^{2}\frac{\gamma}{2}}\right)\leqslant r\left(\frac{2R}{h_{a}}+\frac{2R}{h_{b}}+\frac{2R}{h_{c}}\right)=
=2Rr\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}\right)=2Rr\cdot\frac{1}{r}=2R
(см. задачу 3239).