11893. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
выбраны такие точки D
и E
, что площадь треугольника ADE
равна 0,5. Вписанная в четырёхугольник BDEC
окружность касается стороны AB
в точке K
, причём AK=3
. Найдите тангенс угла BAC
, если около четырёхугольника BDEC
можно описать окружность, и BC=15
.
Ответ. \frac{3}{4}
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности, R
— её радиус, O_{2}
— центр вписанной в треугольник ADE
окружности, r
— её радиус. Обозначим через p_{1}
и p_{2}
полупериметры треугольников ABC
и ADE
соответственно. Тогда
3=AK=p_{1}-BC=p_{1}-15
(см. задачу 219), откуда p_{1}=18
. Вписанная окружность треугольника ABC
— это вневписанная окружность треугольника ADE
, поэтому p_{2}=AK=3
(см. задачу 1750). Следовательно,
p_{2}=3,~r=\frac{S_{\triangle ADE}}{p_{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}
(см. задачу 452).
Четырёхугольник BDEC
вписанный, поэтому
\angle ADE=180^{\circ}-\angle BDE=\angle ECB=\angle ACB.
Значит, треугольники ADE
и QCB
подобны. Тогда
\frac{r}{R}=\frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6},
откуда
R=6r=6\cdot\frac{1}{6}=1.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Луч AO_{2}
— биссектриса угла BAC
, поэтому \angle KAO_{1}=\frac{\alpha}{2}
. Из прямоугольного треугольника AKO_{1}
находим, что
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{O_{1}K}{AK}=\frac{R}{AK}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
\tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\cdot\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{4}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2017-2018, заключительный этап, задача 3, вариант 17, 11 класс