11949. Даны три окружности, попарно касающиеся друг друга, причём первая содержит вторую и третью. Пусть A
и B
— точки касания первой со второй и третьей соответственно; C
— точка касания второй и третьей окружностей. Через точку C
проведена хорда первой окружности, касающаяся второй и третьей. Точка D
— середина этой хорды. Докажите, что C
— центр окружности, вписанной в треугольник ABD
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры соответственно первой второй и третьей окружностей. По свойству касающихся окружностей (см. задачу 1758) точка O_{2}
лежит на прямой O_{1}A
, точка O_{3}
— на прямой O_{1}B
, точка C
— на отрезке O_{2}O_{3}
, причём O_{2}O_{3}\perp CD
.
Пусть KL
— диаметр первой окружности, проходящий через точку D
. Тогда KL\perp CD
(см. задачу 1677), поэтому KL\parallel O_{1}O_{3}
. Тогда равнобедренные треугольники AO_{2}C
и AO_{1}L
подобны, так как их углы при вершинах O_{2}
и O_{1}
равны, т. е. \angle AO_{2}C=\angle AO_{1}L
. Значит, \angle O_{2}AC=\angle O_{1}AL
. Следовательно, точки A
, C
и L
лежат на одной прямой. Аналогично, точки N
, C
и K
лежат на одной прямой.
Пусть прямые KA
и LB
пересекаются в точке M
, лежащей на продолжении отрезка DC
за точку C
. Тогда треугольник KLN
остроугольный (см. задачу 1722), а так как C
— точка пересечения его высот LA
и KB
, а CD\perp KL
, то MD
— его третья высота. Значит, ABD
— ортотреугольник остроугольного треугольника KLM
, и поэтому лучи AL
, BK
и DM
— биссектрисы углов треугольника ABD
(см. задачу 533). Следовательно, точка C
— центр его вписанной окружности.