11950. Пусть O
, I
и H
— соответственно центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот треугольника. Докажите, что OH\geqslant IH\sqrt{2}
.
Решение. Пусть Q
— середина отрезка OH
. Тогда Q
— центр окружности девяти точек (см. задачу 174). По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014)
4QI^{2}=2OI^{2}+2IH^{2}-OH^{2}.
Вписанная окружность треугольника изнутри касается окружности девяти точек этого треугольника (теорема Фейербаха, см. задачу 6117), поэтому QI=\frac{R}{2}-r
. По формуле Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника (см. задачу 126) OI^{2}=R^{2}-2rR
. Учитывая, что R\geqslant2r
(см. задачу 3587), получим
OH^{2}=2IH^{2}+2OI^{2}-4QI^{2}=2IH^{2}+2R^{2}-4rR-4\left(\frac{R}{2}-r\right)^{2}=
=2IH^{2}+2R^{2}-4rR-R^{2}+4Rr-4r^{2}=2IH+R^{2}-4r^{2}\geqslant2IH^{2}.
Следовательно, OH\geqslant IH\sqrt{2}